15-11-23 ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.

Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ / Department of Mathematics AUTh

17 λεπτά ·

Η ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.
Βασίλειος Γκίκας, Οικονομολόγος, Ακαδημαϊκός.
Η ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Σύντομη Εισαγωγή.

Εισαγωγή στις έννοιες της Φιλοσοφίας και των Μαθηματικών. 1. Φιλοσοφία: η Φιλομάθεια, η αγάπη της Σοφίας, της Γνώσης. Είναι η Ορθολογιστική Μελέτη της Ανθρώπινης Σκέψης, που εξετάζεται από τη διπλή πλευρά της Γνώσης και της Δράσης, αφού με τη λέξη Σοφία δεν νοείται μόνο η Σωφροσύνη των Πράξεων, αλλά κι η πλήρης Γνώση, όλων όσων ο Άνθρωπος μπορεί να γνωρίζει, ώστε να διατυπώνει το ανάλογο Φιλοσοφικό Σύστημα γιά τη Συμπεριφορά του στη Ζωή. &
2. Μαθηματικά: επιγραμματικά, είναι η Επιστήμη των Αριθμών και των Σχημάτων: το σύνολο των Κανόνων, οι οποίοι, με Συμπερασματικούς Συλλογισμούς, μελετούν τις Ιδιότητες των Αφηρημένων Εννοιών, όπως, των Αριθμών και των Σχημάτων, καθώς και τις Σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ τους.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ.
Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, πού ήκμασε κατά το 532/1 π.Χ. στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας, θεμελίωσε τη Μαθηματική Φιλοσοφική Έρευνα. Ξεχώρισε τα Μαθηματικά από τις άλλες Επιστήμες, ασχολήθηκε μαθηματικά με τη Μουσική και την Αρμονία των Ουράνιων Σωμάτων. Κατά τη Θεωρία του, οι Αριθμοί δεν είναι απλά Σύμβολα Ποσοτικών Σχέσεων, αλλά η ίδια η Ουσία των Πραγμάτων κι η Ψυχή ταυτίζεται με τον Αριθμό (το παν Αριθμός). Όμως, πριν από τον Πυθαγόρα υπήρξε η Σχολή της Μιλήτου, οπότε κι εμφανίστηκαν τα πρώτα νάματα της Μαθηματικής Φιλοσοφίας, Το “Παράδοξο” του Ζήνωνος του Ελεάτη (490 - 430 π.Χ.). Αποτελούν Θεωρίες που ανάγονται στη Φιλοσοφία της Μαθηματικής Επιστήμης, όπως και μερικές από τις σκέψεις του Δημόκριτου από τ’ Άβδηρα (460 - 370 π.Χ.). Σε διάφορους “Διαλόγους” του Πλάτωνος του Αθηναίου (427 - 347 π.Χ.) υπάρχουν διάσπαρτες Μαθηματικές Φιλοσοφικές Θεωρίες, όπως και σε κάποια έργα του Αριστοτέλη από τα Στάγιρα της Χαλκιδικής (384/3 - 322/1 π.Χ.), όπως στα “Στοιχεία” του Ευκλείδη από τα Μέγαρα (450 - 350 π.Χ.) ή σ’ έργα του Αρχιμήδη (287 - 212 π.Χ.) κι άλλων Μαθηματικών της Αρχαιότητας. Αυτό συμβαίνει, διότι, τότε, τα όρια μεταξύ όλων των Επιστημών ήταν ακόμη ακαθόριστα, όπως συνάγεται κι από τους Πλατωνικούς Διαλόγους.
Από τα τέλη της Αρχαιότητας διακόπηκε γιά πολύ οποιαδήποτε Φιλοσοφική Θεώρηση, όπως το περιεχόμενο των Μαθηματικών. Οι Άραβες Μαθηματικοί ασχολούντο με Μεθόδους Λογισμού κι ελάχιστα, ως καθόλου, με τη Φιλοσοφία των Μαθηματικών.
Από την Αναγέννηση (15ος - 16ος αι.) και μετά, μα το Πνεύμα της Κριτικής και του Ορθολογισμού, που εισήγαγε ο Καρτέσιος (Cartesius, Descartes, 1596 - 1650), αρχίζει και πάλι η μελέτη Θεμάτων των Μαθηματικών, από Φιλοσοφική πλευρά. Ειδικά από τον 19ο αιώνα ξεκινά η πραγματική Φιλοσοφία της Μαθηματικής Επιστήμης.
Προβλήματα της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών.
Τα περισσότερα από τα Προβλήματα που απασχολούν τη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, ιδίως εκείνα τα οποία πηγάζουν από τις έννοιες των Αρρήτων Αριθμών, του Ορίου, του Απείρου και των Ασυνεχών & Συνεχών Ποσοτήτων, ανάγονται σ’ ένα και μόνο Πρόβλημα, αυτό της απόλυτης προσαρμογής όλων των Μαθηματικών Εννοιών προς τους Κανόνες της Λογικής. Οι κυριότερες Μαθηματικές Έννοιες συνδέονται με κάποιες Βασικές Έννοιες με σειρά Συλλογισμών, Αυστηρά Λογικών, διότι χωρίς αυτόν τον Λογικό Ειρμό, οι Μαθηματικές έννοιες δεν θα ήταν ικανές να εξασφαλίσουν το Αλάθητο της Αποδείξεώς τους, όπως απαιτεί η Σκέψη στις Θετικές Επιστήμες.
ΟΙ ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Η έννοια των Αρρήτων Αριθμών αποτελεί ένα από τα πιό κύρια Προβλήματα της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών. Διότι Άρρητος είναι κάθε Αριθμός που δεν μετριέται με τη Μονάδα (όπως συμβαίνει με τους Ρητούς Αριθμούς, που εκφράζονται με τον λόγο Ακέραιου προς Ακέραιο), αλλά εκφράζεται ασύμμετρα, μιά κι είναι μη τερματιζόμενοι Δεκαδικοί Αριθμοί, μη Περιοδικοί. Αλλά, οι Ρητοί μαζί με τους Άρρητους Αριθμούς αποτελούν τους Πραγματικούς Αριθμούς κι εφόσον το πλήθος Ρητών κι Αρρήτων είναι άπειρο, έπεται ότι και το πλήθος των Πραγματικών Αριθμών είναι άπειρο. Οι Άρρητοι, που δεν είναι ακέραιοι ή υποπολλαπλάσια της Μονάδας -αφού στους Ρητούς το δεκαδικό μέρος τους είναι περιοδικό, σε αντίθεση προς τους Αρρήτους που το δεκαδικό μέρος τους είναι μη περιοδικό-, δημιουργήθηκαν από την ανάγκη να βρεθεί τρόπος ώστε να παριστάνονται με αριθμούς, έστω και κατά προσέγγιση: Ασύμετρα Μεγέθη προς τους Ακέραιους (ασύμμετρα προς τη Μονάδα, τα πολλαπλάσια ή τα υποπολλαπλάσιά της), δηλαδή, Μεγέθη που δεν μπορούμε να τα παραστ'ησουμε επακριβώς με τη Μονάδα. Παράδειγμα: μία τετραγωνική ρίζα, που είναι το μήκος της πλευράς τετραγώνου, μ' εμβαδόν που εκφράζεται σε τόσες Μονάδες όσες έχει ο Αριθμός από τον οποίο βγήκε, παριστάνει το πλήθος των Μονάδων Μήκους (π.χ.: η τετραγωνική ρίζα του 25 είναι το 5, δηλαδή, περιέχονται 25 Μονάδες Εμβαδού). Κατά την εκτέλεση λοιπόν τέτοιων μετρήσεων, οι Αρχαίοι Έλληνες βρέθηκαν μπροστά σε Μεγέθη που δεν μπορούσαν να εκφράσουν με Ρητούς Αριθμούς, διότι, γιά παράδειγμα, με όση επιμέλεια κι αν κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο που έχει εμβαδόν 2 τετραγωνικών μονάδων, είναι αδύνατον να εκφράσουμε το πλήθος των Μονάδων Μήκους της πλευράς αυτού του τετραγώνου σε Ακέραιους Αριθμούς, όπως θα κάναμε γιά ένα κοπάδι πρόβατα ενός ποιμνίου, αφού μία πλευρά δεν αποτελείται από χωριστά όντα, όπως το συγκεκριμένο ποίμνιο. Εδώ λοιπόν βλέπουμε καθαρά και παραστατικά πως οι Ρητοί Αριθμοί προορίζονται γιά την καταμέτρηση Μεγεθών που μπορούν να διακριθούν σε μεμονωμένα άτομα ή σε Ασυνεχή Μεγέθη. Ενώ οι Άρρητοι, που είναι Κλασματικοί, Δεκαδικοί, μη Περιοδικοί Αριθμοί, με άπειρο πλήθος (αποδείχτηκε πως είναι κατά πολύ μεγαλύτερο από το Πλήθος των Ρητών) Δεκαδικών Ψηφίων, προορίζονται γιά τη μέτρηση Μεγεθών που δεν έχουν την ιδιότητα που έχουν οι Ασυνεχείς. Δηλαδή, οι Άρρητοι προορίζονται γιά την καταμέτρηση Συνεχών Μεγεθών. Εδώ εμφανίζεται κι η Ουσία του Φιλοσοφικού Προβλήματος γιά τους Αρρήτους Αριθμούς: αν κι αυτοί είναι Αριθμοί, κατά τη λογική εκδοχή αυτού του Όρου. Οι μεν Θεωρητικοί δεν τους θεωρούν Αριθμούς, κατά την έννοια του Όρου, διότι δεν ικανοποιούν την Ανθρώπινη Λογική, αφού δεν εκφράζουν κατά ρητό κι ακριβή τρόπο έναν οποιονδήποτε Λόγο που υπάρχει μεταξύ δυό οποιωνδήποτε Μεγεθών. Οι δε Πρακτικοί των Μαθηματικών τους θεωρούν Αριθμούς, αφού, χάρη σε αυτούς, μπορούμε να εκτελέσουμε Μετρήσεις και Λογισμούς, με προσεγγίσεις Ρητών Αριθμών, που ικανοποιούν και τις πιό αυστηρές απαιτήσεις οποιασδήποτε Επιστήμης ή Τέχνης. Έτσι, μπαίνει το Ερώτημα αν οι Άρρητοι αποτελούν ξεχωριστή Ανακολουθία Αριθμών, όπως π.χ. είναι η Φυσική Ακολουθία των Ακεραίων. Ως απάντηση μπορεί να δοθεί μέσα από μιά Ακολουθία Πραγματικών Ακεραίων, Κλασματικών, Υποπολλαπλασίων της Μονάδας κι Αρρήτους, κατά την τάξη του αύξοντα μέγεθούς τους (π.χ.: 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2 κ.ο.κ.) ή από έναν Άρρητο που να εκφράζει την τετραγωνική ρίζα του 2. Στην πρώτη περίπτωση μπορούμε να παρεμβάλλουμε μεταξύ δυό Ακεραίων άπειρο αριθμό Κλασμάτων, Πητών κι Αρρήτων, καθώς και μεταξύ δύο Κλασμάτων, χωρίς η Ακολουθία να παύει να είναι Ακολουθία, εφόσον τηρούμε τον θεμελιώδη Κανόνα γιά τον Σχηματισμό Αριθμητικής Ακολουθίας. Αν σε αυτή την Ακολουθία παραλείψουμε τα Κλάσματα που παριστάνουν Ασύμμετρους Λόγους, τότε αυτή η Ακολουθία δεν πληροί αυτόν τον Θεμελιώδη Κανόνα. Σε αυτήν την περίπτωση δημιουργείται μιά έλλειψη ορίου σε κάποιες Κλάσεις, όπως στην τετραγωνική ρίζα του 2, που τοποθετείται μεταξύ όλων των Αριθμών των οποίων το τετράγωνο είναι μικρότερο του 2 κι όλων των Αριθμών των οποίων το τράγωνο είναι μεγαλύτερο του 2. Αν όμως περιοριστούμε μόνο στις Ακολουθίες Ρητών Αριθμών, αγνοήσουμε δε τους Αρρήτους, που μόνο αυτοί επιτρέπουν την Αριθμητική Παράσταση της τετραγωνικής ρίζας του 2, τότε δεν υπάρχει Κλάσμα που να μπορεί να διαιρεί την Ακολουθία σε δύο μέρη, ώστε όλοι οι Όροι του ενός μέρους να έχουν τετράγωνα μικρότερα του 2 κι όλοι του άλλου μέρους να έχουν τετράγωνα μεγαλύτερα του 2 κι έτσι στην Ακολουθία των Κλασμάτων θα δημιουργηθεί ένα κενό, εκεί που θα περιλαμβανόταν κι η τετραγωνική ρίζα του 2. Γιά ν' αποφύγουμε λοιπόν αυτήν τη δυσκολία, προσφεύγουμε υποχρεωτικά στους Αρρήτους, ώστε να έχουμε πλήρη Ακολουθία, χωρίς κενά. Απ' όλ' αυτά βγαίνει πως οι Άρρητοι δεν αποτελούν ξεχωριστή Ακολουθία, αντιθέτως: χρησιμεύουν στο να συμπληρώνονται τα κενά που εμφανίζονται στην Ακολουθία, με μόνους τους Ρητούς Αριθμούς, με μορφή Ακεραίων και Κλασμάτων. Αυτή η ιδιότητα των Αρρήτων, να συμπληρώνουν τα κενά της Ακολουθίας Πραγματικών Αριθμών, έχει ουσιαστική σημασία γιά τα Μαθηματικά, αφού οι Άρρητοι παριστάνουν μόνο Μέτρα και Λόγους Μεγεθών, οι οποίοι αδυνατούν να παρασταθούν με ακρίβεια με τους Ρητούς Αριθμούς, που οι Αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί περιλάμβαναν στους Ρητούς κι εκείνους που τα τετράγωνα ήταν Σύμμετρα μεταξύ τους.